Vamos a estudiar el sistema binario de forma sencilla y fácil de entender para todo el mundo.

   Actualmente la mayoría de las personas utilizamos el sistema decimal (de 10 dígitos) para realizar operaciones matemáticas. Este sistema se basa en la combinación de 10 dígitos (del 0 al 9). Construimos números con 10 dígitos y por eso decimos que su base es 10.

   El sistema binario es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando las cifras 0 y 1, es decir solo 2 dígitos, esto en informática tiene mucha importancia ya que las computadoras trabajan internamente con 2 niveles de Tensión lo que hace que su sistema de numeración natural sea binario, por ejemplo 1 para encendido y 0 para apagado. También se utiliza en electrónica y en electricidad (encendido o apagado, activado o desactivado).

Se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 1 y 0. Por tanto su base es 2 (número de dígitos del sistema). Cada dígito de un número en este sistema se denomina bit (contracción de binary digit).

   Por ejemplo el número en binario 1001 es de 4 bits. Recuerda cualquier número binario solo puede tener ceros y unos.

   Pasar un número Decimal a su equivalente en Binario

   Según el orden ascendente de los números en decimal tendríamos un número equivalente en binario:

    El 0 en decimal sería el 0 en binario

    El 1 en decimal sería el 1 en binario

    El 2 en decimal sería el 10 en binario (recuerda solo combinaciones de 1 y 0)

    El 3 en decimal sería el 11 en binario

    El 4 en decimal sería el 100 en binario

   

   Y así sucesivamente obtendríamos todos los números en orden ascendente de su valor, es decir obtendríamos el Sistema de Numeración Binario y su equivalente en decimal. Pero que pasaría si quisiera saber el número equivalente en binario al 23456 en decimal. Tranquilo, hay un método para convertir un número decimal en binario sin hacerlo uno a uno.

   Para hacer la conversión de decimal a binario, hay que ir dividiendo el número decimal entre dos y anotar en una columna a la derecha el resto (un 0 si el resultado de la división es par y un 1 si es impar). Para sacar la cifra en binario cogeremos el último cociente (siempre será 1) y todos los restos de las divisiones de abajo arriba, orden ascendente.

   Ejemplo queremos convertir el número 28 a binario

   28 dividimos entre 2 : Resto 0

   14 dividimos entre 2 : Resto 0

   7 dividimos entre 2 : Resto 1

   3 dividimos entre 2 : Resto 1 y cociente final 1

   Entonces el primer número del número equivalente en binario sería el cociente último que es 1, el segundo número del equivalente el resto ultimo, que también es 1, la tercera cifra del equivalente sería el resto anterior que es 1, el anterior que es 0 y el último número de equivalente en binario sería el primer resto que es 0 quedaría el 11100

   Conclusión el número 28 es equivalente en binario al 11.100.

   Aquí lo vemos con las operaciones de forma más sencilla de entender:

Vemos como para sacar el equivalente se coge el último cociente de las operaciones y los restos que han salido en orden ascendente (de abajo arriba) 11100. El Número 2 del final en subíndice es para indicar que es un número en base 2,  pero no es necesario ponerlo.

   Veamos otro ejemplo el número 65 pasarlo a binario.

   Pasar un Número Binario a su Equivalente en Decimal

   Pues ahora al revés. ¿Que pasaría si quisiera saber cual es el número equivalente en decimal del número binario por ejemplo 1001? Pues también hay método.

   PASO 1 – Numeramos los bits de derecha a izquierda comenzando desde el 0 (muy importante desde 0 no desde 1).
   PASO 2 – Ese número asignado a cada bit o cifra binaria será el exponente que le corresponde.
   PASO 3 – Cada número se multiplica por 2 elevado al exponente que le corresponde asignado anteriormente.
   PASO 4 - Se suman todos los productos y el resultado será el número equivalente en decimal

   Vamos a verlo gráficamente que será más sencillo de entender.
 
  Ejemplo el número 1001 queremos saber su equivalente en decimal. Primero asignamos exponentes:

  Empezamos por el primer producto que será el primer número binario por 2 elevado a su exponente, es decir 1 x 2³ . El segundo y el tercer productos serán 0 por que 0 x 2²  y 0 x 2¹ su resultado es 0 y el último producto será 1 x 2⁰ que será 1, OJO cualquier número elevado a cero es 1, luego 1 x 2⁰ es 1 (no confundir y poner 0).

   Ya estamos en el último paso que es sumar el resultado de todos estos productos.

   1 x 2³ + 0 x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 2⁰ = 8 + 0 + 0 + 1 = 9

   El equivalente en decimal del número binario 1001 es el 9.

   Veamos otro ejemplo solo gráficamente para que lo entiendas definitivamente. En este caso la asignación del exponente a cada número ya lo hacemos directamente en los productos, que es como se suele hacer normalmente.

• Otro ejemplo con todos los datos:

El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, es un sistema de numeración posicional  en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez.  El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración Arábiga) se compone de diez cifras: cero (0) - uno (1) - dos (2) - tres (3) - cuatro (4) - cinco (5) - seis (6) - siete (7) - ocho (8) y nueve (9). 

Le dejo este vídeo, en donde se le explica claramente que son los sistemas de numeración decimal: 

Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método del binario o el hexadecimal.

Al ser posicional, el sistema decimal es un sistema de numeración en el cual el valor de cada dígito depende de su posición dentro del número. Al primero corresponde el lugar de las unidades, el dígito se multiplica por 10^0 (es decir 1); el siguiente las decenas (se multiplica por 10); centenas (se multiplica por 100); etc.

• Ejemplo:

• Otro Ejemplo:

• O también:

Se puede extender este método para los decimales, utilizando las potencias negativas de diez, y un separador decimal entre la parte entera y la parte fraccionaria.

• Ejemplo:

• O también:

Historia de sistema de numeración decimal

El siguiente vídeo sirve de apoyo para saber de dónde surge el sistema de numeración decimal.

Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tienen los hombres en las manos que siempre han servido como base para contar.

También existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal.

Cronología
Año	Acontecimiento
III milenio a.C.	Los egipcios utilizan un sistema decimal no posicionar. Otras culturas de Mesopotamia (Sumeria, Babilonia, ...) utilizaban un sistema posicionar sexagesimal.
Antes de 1350	los chinos.
hacia -600	los etruscos
hacia -500	Registros en sánscrito.
	La civilización maya

Escritura decimal

En un sistema de numeración posicional de base racional, como la decimal, podemos representar números enteros, sin parte decimal, y números fraccionarios, un número fraccionario que tiene los mismos divisores que la base dará un número finito de cifras decimales, racional exacto, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representación finita: la parte fraccionaria presentará un período de recurrencia pura, números racionales periódicos puros, cuando no haya ningún factor primo en común con la base, y recurrencia mixta, números racionales periódicos mixtos, (aquella en la que hay dígitos al comienzo que no forman parte del período) cuando haya al menos un factor primo en común con la base.

La escritura única (sin secuencias recurrentes) puede ser de los tipos:

·         Número entero

·         Número decimal exacto.

·         Número decimal periódico.

o    Número decimal periódico puro.

o    Número decimal periódico mixto.

·         Número irracional.

Esta ley de tricotomía aparece en todo sistema de notación posicional en base entera n, e incluso se puede generalizar a bases irracionales, como la base áurea.